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By N. Bourbaki

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce dixième chapitre du Livre d Algèbre, deuxième Livre du traité, pose les bases du calcul homologique.

Ce quantity est a été publié en 1980.

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Ker g. Comme la suite O+Kerq+P'3P+O est exacte et que g est un homologisme, Ker g est d'homologie nulle. 9. - Soient M un A-module et (P, p ) une résolution projective de M. PROPOSITION Notons r le radical de A. O n suppose, ou bien que P, est un A-module de type fini pour tout n , ou bien que r est nilpotent. Alors pour que (P, p) soit minimale, il faut et il sufit que le complexe (A/r) O, P soit à dzflérentielle nulle, autrement dit que d,+ ,(P,+ ,) c rP, pour tout n 2 0 . Supposons que (P, p) soit minimale.

2) On peut prendre pour %' l'ensemble des classes de modules de longueur finie et pour cp : K(%') + Z l'homomorphisme défini par cp([M])= long, ( M ) . On dit qu'un A-module gradué M est de type % si M n est de type % pour tout n (pour cela, il faut si M est borné, et il su$t si W est stable, que le module M soit de type %'). DÉFINITION 8. - Soient M un A-module gradué borné de type %' et ( M n )sagraduation. O n appelle cp-caractéristique de M et on note x,(M) ou simplement x ( M ) l'élément C ( - 1)" cp([Mnl)de G.

12 appliquée à la suite exacte de complexes (X, p. 37, Prop. 7 ) O -+ C -+ Con (u) + Cl(- 1 ) -+ 0 . Remarque. - Soient E un complexe, h : E -+ C et h' : E + C' des homotopismes avec C et C' bornés de type V . En effet, si hl est un inverse de h à homotopie prés, h' o hl est un homotopisme, donc un homologisme de C dans C f et on peut appliquer la prop. 10. Par suite, on peut étendre la définition 8 en posant x(E) = x(C) dès qu'il existe un homotopisme de E sur un complexe C borné de type V. Les propositions 10, 11, 12 et leurs corollaires se généralisent dans ce cadre.

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